Faktöriyel

 

FAKTÖRİYEL NEDİR?

n bir pozitif tam sayı olmak üzere 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! şeklinde gösterilir.

n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n ‘dir.
0! = 1 olarak kabul edilir.

ÖRNEK: Bazı doğal sayıların faktöriyellerini hesaplayalım.

0! = 1
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720
7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040

NOT: n! aşağıdaki şekillerde de yazılabilir.
n! = n . (n − 1)!
n! = n . (n − 1) . (n − 2)!

ÖRNEK: Yukardaki not ile ilgili aşağıdaki eşitlikleri inceleyelim.

7! = 7.6.5.4.3.2.1 olduğu için:
7! = 7.6! şeklinde yazılabilir.

7! = 7.6.5.4.3.2.1 olduğu için:
7! = 7.6.5! şeklinde yazılabilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım.

► 10!8!$\frac{10!}{8!}$ = 10.9.8!8!$\frac{\mathrm{10.9.8}!}{8!}$ = 10.9 = 90

► 13!−12!12$\frac{13!-12!}{12}$ = 13.12!−12!12$\frac{13.12!-12!}{12}$ = 12!(13−1)12$\frac{12!(13-1)}{12}$ = 12!(12)12$\frac{12!(12)}{12}$ = 12!

FAKTÖRİYEL İLE SAYMANIN TEMEL PRENSİBİ İLİŞKİSİ

Faktöriyel işlemi, çarpma yoluyla sayma yani saymanın temel prensibi kullanılan saymalarda da kullanılır.

Birbirinden farklı n tane nesne yan yana n . (n – 1) . (n – 2) . … . 3 . 2 . 1 = n! farklı şekilde sıralanabilir.

ÖRNEK: 4 kişi 4 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir bulalım.

1.YOL: Soruyu saymanın temel prensibi ile çözelim

Sandalye:	1.	2.	3.	4.
Oturabilecek Kişi Sayısı:	4	3	2	1

4 kişi 4 sandalyeye 4.3.2.1 = 24 farklı şekilde oturabilir.

2.YOL: Soruyu faktöriyel kullanarak çözelim.

4 kişi 4 sandalyeye 4! = 24 farklı şekilde oturabilir.

ÖRNEK: KİTAP kelimesinin harfleriyle aynı harflere sahip anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç farklı kelime oluşturulabilir bulalım.

1.YOL: Soruyu saymanın temel prensibi ile çözelim

Harf Sırası:	1.	2.	3.	4.	5.
Gelebilecek Harf Sayısı:	5	4	3	2	1

Bu harflerle 5 harfli 5.4.3.2.1 = 120 farklı kelime oluşturulabilir.

2.YOL: Soruyu faktöriyel kullanarak çözelim.

Oluşturulacak kelimede K, İ, T, A, P harflerinden her biri birer kez yer alacaktır. Bu yüzden bu 5 harf 5! = 120 farklı şekilde sıralanır.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: (n+2)!n!$\frac{(n+2)!}{n!}$ işleminin sonucunu bulalım.

(n+2)!n!$\frac{(n+2)!}{n!}$ = (n+2).(n+1).n!n!$\frac{(n+2).(n+1).n!}{n!}$ = (n+2).(n+1) = n2 + 3n + 2

ÖRNEK 2: 10 kişi yan yana sıralanarak fotoğraf çektirecektir. Kaç farklı biçimde sıralanabilirler bulalım.

10 kişi 10! farklı şekilde sıralanabilir.

ÖRNEK 3: Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba yan yana olmak şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir bulalım.

Anne ve baba her zaman yan yana olacağı için anne ile baba 1 kişi (A-B) gibi düşünülür.

A-B, Ç1, Ç2, Ç3 nesnelerinin sıralaması 4! biçimde gerçekleşir. Anne ve baba kendi aralarında da 2! (A-B, B-A) şeklinde yer değiştirebilir.

Sonuç olarak 4! . 2! = 24 . 2 = 48 sıralama yapılabilir.

ÖRNEK 4: 4 erkek 5 kız, erkekler ve kızlar bir arada olmak şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir bulalım.

Erkekler hep yan yana olacağı için 1 kişi (E), kızlar da hep yan yana olacağı için 1 kişi (K) olarak düşünülür.

E, K nesnelerinin sıralaması 2! biçimde gerçekleşir. Ayrıca erkekler kendi arasında 4!, kızlar kendi arasında 5! kadar sıralanır.

Sonuç olarak 4! . 5! . 2! = 24 . 120 . 2 = 5760 sıralama yapılabilir.

kaynakça: www.matematikciler.com