Mutlak Değer

 

• Mutlak Değer

MUTLAK DEĞER NEDİR?

Bir gerçek sayının sayı doğrusundaki yerinin başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. x gerçek sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir.

6 ve −6 sayısının 0’a olan uzaklığı 6 birimdir. Bu durum sembolle |6| = 6 ve |−6| = 6 şeklinde gösterilir.

Mutlak Değer, x ∈$\in$ R olmak üzere ;

|x|={x−xx≥0x<0iseise$|x|=\{\begin{array}{lll}x& x\ge 0& ise\\ -x& x<0& ise\end{array}$ olarak tanımlanır.

► Mutlak değerin içindeki ifade 0’a eşitse veya sıfırdan büyükse mutlak değerin dışına aynen çıkartılır.

|+3| = 3

a > 0 ise|2a| = 2a

x < 0 ise |−3x| = −3x

y gerçek sayı ise |y2 + 12| = y2 + 12

► Mutlak değerin içindeki ifade 0’dan küçükse mutlak değerin dışına −1 ile çarpılarak çıkartılır.

|−9| = (−1).(−9) = 9

a < 0 ise|5a| = (−1).(5a) = −5a

x > 0 ise |−7x − 10| = (−1).(−7x − 10) = 7x + 10

ÖRNEK: 1 < a < 2 olmak üzere |2a| + |a − 1| + |a − 3| + |−3a| ifadesinin en sade halini bulalım.

1 < a < 2 iken 2 < 2a < 4 olduğu için;
|2a| = 2a olur.

1 < a < 2 iken 0 < a − 1 < 1 olduğu için;
|a − 1| = a − 1 olur.

1 < a < 2 iken −2 < a − 3 < −1 olduğu için;
|a − 3| = (−1).(a − 3) = −a + 3 olur.

1 < a < 2 iken −3 > −3a > −6 olduğu için;
|−3a| = (−1).(−3a) = 3a olur.

Sonuç (2a) + (a − 1) + (−a + 3) + (3a) = 5a + 2 bulunur.

ÖRNEK:  a < 0 < b olmak üzere |a − b| + |a − 1| + |−3a| ifadesinin en sade halini bulalım.

a < b iken a − b < 0 olduğu için;
|a − b| = (−1).(a − b) = −a + b olur.

a < 0 iken a − 1 < −1 olduğu için;
|a − 1| = (−1).(a − 1) = −a + 1 olur.

a < 0 iken −3a > 0 olduğu için;
|−3a| = −3a olur.

Sonuç (−a + b) + (−a + 1) + (−3a) = −5a + b + 1 bulunur.

MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

x, y ∈$\in$ R olmak üzere;

1) |x| ≥ 0

Bir gerçek sayının mutlak değeri 0’a eşit ya da 0’dan büyüktür.

2) |x.y| = |x| . |y|

Çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

3) y ≠$\ne$ 0 olmak üzere: |xy|=|x||y|$|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$

Bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin bölümüne eşittir.

4) |x| = |−x|

Biri diğerinin −1 katı olan iki gerçek sayının mutlak değeri birbirine eşittir.

5) n ∈$\in$ Z olmak üzere: |xn| = |x|n

Bir gerçek sayının pozitif tam sayı kuvvetinin mutlak değeri, mutlak değerinin aynı kuvvetine eşittir.

6) |x+y| ≤ |x|+ |y|

İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Mutlak değer içeren denklemlere mutlak değerli denklem denir.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

x,y,a ∈$\in$ R olmak üzere ;

|x| = a eşitliğinde a > 0 ise x = a veya x = −a olur.

ÖRNEK: |x + 3| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x + 3 = 5 eşitliğinden x = 2 bulunur.
x + 3 = −5 eşitliğinden x = −8 bulunur.

Ç = {2, −8}

|x| = 0 ise x = 0 olur.

ÖRNEK: |2x − 8| + 4  = 4 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

|2x − 8| = 0 olduğu için 2x − 8 = 0 eşitliğinden x = 4 bulunur.

Ç = {4}

|x| = a eşitliğinde a < 0 ise denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

ÖRNEK: |3x + 6| = −5 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Ç = ∅$\varnothing$

|x| = |y| ise x = y veya x = −y olur.

ÖRNEK: |x + 1| = |2x − 16| denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x + 1 = 2x − 16 eşitliğinden x = 17 bulunur.
x + 1 = −2x + 16 eşitliğinden x = 5 bulunur.

Ç = {5, 17}

|x| = y ise x = y veya x = −y olur. Bulunan köklerden mutlak değerin eşitini (y) negatif yapanlar çözüm kümesine dahil edilmez.

ÖRNEK: |x − 9| = 2x − 3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x − 9 = 2x − 3 eşitliğinden x = −6 bulunur.
x − 9 = −2x + 3 eşitliğinden x = 4 bulunur.

Mutlak değerin eşiti negatif olamayacağı için bulunan x değerlerinin 2x − 3’ü negatif yapıp yapmadığına bakarız. Bu yüzden x = −6 değeri 2x − 3’ü negatif yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmez.

Ç = {4}

|x| + |y| = 0 ise x = 0 ve y = 0 olur.

ÖRNEK: |2x − 8| + |3y + 6| = 0 ise x.y ‘nin değerini bulalım.

|2x − 8| + |3y + 6| = 0
2x − 8 = 0 eşitliğinden x = 4 bulunur.
3y + 6 = 0 eşitliğinden y = −2 bulunur.

Cevap x.y = 4.(−2) = −8 olarak bulunur.

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER

Mutlak değer içeren eşitsizliklere mutlak değerli eşitsizlik denir.

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

x,a,b ∈$\in$ R olmak üzere ;

|x| ≤ a eşitsizliğinde a > 0 ise −a ≤ |x| ≤ a olur.

ÖRNEK: |x + 3| ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

−5 ≤ x + 3 ≤ 5
−8 ≤ x ≤ 2

Ç = [−8,2]

|x| ≤ 0 ise x = 0 olur.

ÖRNEK: |3x + 15| ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

3x + 15 = 0 eşitsizliğinden x = −5 bulunur.

Ç = {−5}

|x| ≤ a eşitsizliğinde a < 0 ise eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme olur.

ÖRNEK: |2x + 7| < −4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıdan küçük olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Ç = ∅$\varnothing$

|x| ≥ a eşitsizliğinde a ≥ 0 ise x ≥ a veya x ≤ −a olur.

ÖRNEK: |x − 1| ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

x − 1 ≥ 3 eşitsizliğinden x ≥ 4 bulunur.
x − 1 ≤ −3 eşitsizliğinden x ≤ −2 bulunur.

Ç = (−∞, −2] ∪$\cup$ [4, ∞)

|x| ≥ 0 ise çözüm kümesi Ç = R olur.

ÖRNEK: |−3x + 15| ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Ç = R

|x| > 0 ise çözüm kümesi Ç = R − {0} olur.

ÖRNEK: |−2x + 6| > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

−2x + 6 = 0 eşitliğinden x = 3 bulunur.

Ç = R − {3}

a ≤ |x| ≤ b eşitsizliğinde a > 0 ve b > 0 ise a ≤ x ≤ b veya −b ≤ x ≤ −a olur.

ÖRNEK: 4 < |x + 2| ≤ 10 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

4 < x + 2 ≤ 10 eşitsizliğinden 2 < x ≤ 8 bulunur.
−10 ≤ x + 2 < −4 eşitsizliğinden −12 ≤ x < −6 bulunur.

Ç = [−12, −6) ∪$\cup$ (2, 8]

kaynakça: www.matematikciler.com